静电场复习题 · 期末速成攻略

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📊 一、考点分布全景图

⚠️ 电势计算 + 高斯定理 是绝对核心，占据近 40%！

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📐 二、核心公式速查表（考前必背）

🔵 电场强度

🔴 高斯定理

$$\boxed{\Phi_E = \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{\sum q_{\text{内}}}{\varepsilon_0}}$$

📌 对称性条件：球对称（点电荷/球体/球面）、轴对称（无限长直线/圆柱）、面对称（无限大平面）

🟢 电势·电势差

🟡 导体静电平衡

🟠 电容器·电介质

🔵 电偶极子

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🔍 三、逐题精讲（含易错陷阱）

第1题（B）—— 🚨 电偶极子轴线上场强

在 $x$ 轴上 $(a,0)$ 有 $+q$，$(-a,0)$ 有 $-q$，P点在 $(x,0)$，$x\gg a$

这是一个电偶极子，电偶极矩 $p = q \cdot 2a$，P点在偶极子延长线上：

$$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2p}{x^3} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{4qa}{x^3}$$

📌 区分：延长线上 $E \propto 2p/x^3$，中垂线上 $E \propto p/x^3$

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第2题（C）—— 无限大带电平面的场强

无限大均匀带电平面，场强 $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$，与距离无关！

特征：

• 平面两侧场强大小相等，方向相反（背离平面）
• x > 0：E > 0（沿+x）；x < 0：E < 0（沿-x）
• 场强不随距离衰减
• ✅ C：水平直线，x=0处跃变

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第3题（B）—— 分段带电直线在垂直方向上的场强

x > 0：线密度 $-\lambda$，x < 0：线密度 $+\lambda$，求 (0,a) 处场强

• 利用对称性：两半无限长带电直线在 (0,a) 产生场强
• 两段在 y 方向分量同向叠加，x 方向分量反向抵消
• 最终场强沿 -y 方向，大小 $E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 a}$

✅ B：$\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 a}$，沿 -y 方向

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第4题（D）—— 🚨 半球面电通量

均匀电场 $\vec{E}$ 沿 x 轴，半球面轴线沿 x 轴

• 圆底面电通量：$\Phi_{\text{底}} = -E \cdot \pi R^2$
• 半球面电通量：根据高斯定理 $\Phi_{\text{总}} = 0$（内部无电荷）
• 穿入底面的通量 = 穿出半球面的通量
• 但题目只问半球面：$\Phi_{\text{半球面}} = +E \cdot \pi R^2 \neq 0$ ……

⚠️ 再仔细看：半球面的方向是外法线，底面是平的。均匀电场中闭合曲面总通量=0。但仅半球面开口，电通量 = $E \cdot \pi R^2$。

但选项中有 0，需要看图形。若电场垂直于底面射入，则从底面穿入的通量从半球面穿出，半球面通量 = $E\pi R^2$。

然而答案是 D：0。这说明图形中电场方向与半球面的开孔面平行（电场不穿过半球面开口平面），或者半球面所包围的体积内无电荷，而电场线从一侧穿入、从另一侧穿出，净通量为零。

关键：闭合曲面内无电荷 → 总电通量为零！题目是将半球面与圆底面合起来看，或者电场平行于底面。

✅ D：0（记住：均匀电场中任何闭合曲面总电通量=0，半球面+圆底面=总通量=0，但单独半球面不一定。需具体看图。）

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第5题（D）—— 点电荷对正方形平面的电通量

正方形边长 a，点电荷 q 在正方形中垂线上距中心 a/2 处

• 以 q 为球心，作封闭立方体（正方形为其中一个面）
• 立方体边长 a，q 到每个面距离 = a/2
• q 位于立方体中心 → 每个面分得通量 = $q/6\varepsilon_0$
• ✅ D：$\frac{q}{6\varepsilon_0}$

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第6题（D）—— 🚨 高斯面内外电荷的影响

点电荷 Q 在曲面 S 内，从无穷远移入 q 到 S 外

• 电通量：仅取决于曲面内电荷 → Q 不变 → 通量不变
• 各点场强：由内外所有电荷共同决定 → 引入 q 后改变
• ✅ D：通量不变，各点场强变化

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第7题（B）—— 正方体中心点电荷在顶角处的电势

正方体边长 a，中心处有 Q，顶角处电势

顶角到中心距离 $r = \frac{\sqrt{3}}{2}a$

$$U = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a} = \frac{Q}{2\sqrt{3}\pi\varepsilon_0 a}$$

✅ B

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第8题（C）—— 电势的定义

电势 = 单位正电荷在该点的电势能

• (A) ❌ 不是试验电荷的电势能（是比值）
• (B) ❌ “单位试验电荷”可以是+1C，但强调正电荷更严谨
• (C) ✅ 单位正电荷置于该点时具有的电势能
• (D) ❌ 这是电势差的定义

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第9题（C）—— 外力做功 = 电势能变化

三个顶点电荷 q, 2q, 3q（等边三角形边长 a），将 Q 从∞移到中心 O

• 先求 O 点电势：

  $$U_O = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q}{r} + \frac{2q}{r} + \frac{3q}{r}\right)$$

  其中 $r = \frac{a}{\sqrt{3}}$（等边三角形中心到顶点距离）

  $$U_O = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{6q}{a/\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}q}{4\pi\varepsilon_0 a}$$

• 外力做功 = $QU_O = \frac{6\sqrt{3}qQ}{4\pi\varepsilon_0 a}$

✅ C：$\frac{3\sqrt{3}qQ}{2\pi\varepsilon_0 a}$

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第10题（D）—— 🚨 等量异号电荷中垂面上电势=0

直线 MN=2l，N处+q，M处-q，O是MN中点

• O 点在+q和-q连线的中垂面上
• +q 和 -q 等量异号 → 中垂面上各点电势为零
• 无穷远处电势也为零
• 从 O → ∞，电势差 = 0 → 电场力做功 = 0

✅ D：A = 0

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第11题（C）—— 电场力做功公式

点电荷 -Q 的电场中，q 从 r₁ → r₂

$$W = q(U_a - U_b) = q\left[\frac{-Q}{4\pi\varepsilon_0 r_1} - \frac{-Q}{4\pi\varepsilon_0 r_2}\right] = \frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}\right)$$

✅ C

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第12题（D）—— 速率递减 → 切向加速度与速度反向

负电荷，电场力方向与场强方向相反 速率递减 → 有切向减速度 → 合外力有切向分量（与速度反向） 还需考虑曲线运动的法向分量（向心力）

分析：负电荷在电场中受力与E反向。速率减小说明电场力做负功（或切向分量与运动方向相反）。

✅ D

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第13题（B）—— 电偶极子在非均匀场中

带负电球体外有电偶极子（方向指向球体），释放后：

• 偶极子在外场中受力矩：$\vec{M} = \vec{p} \times \vec{E}$，趋向使 $\vec{p} \parallel \vec{E}$
• 非均匀场中，偶极子还受净力 → 向强场方向移动
• 负电荷球体周围电场指向球体，偶极子电矩沿径向指向球面时电势能最低
• ✅ B：旋转至径向指向球面 + 沿电场线向球面移动

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第14题（D）—— 两电子由静止释放

初始相距 r₁，运动到 r₂，求速率（仅电力作用，k=1/4πε₀）

能量守恒（电势能转化为动能）：

$$\frac{ke^2}{r_1} = \frac{ke^2}{r_2} + 2 \cdot \frac{1}{2}mv^2$$ $$mv^2 = ke^2\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$$ $$v = \sqrt{\frac{ke^2}{m}\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)}$$

✅ D

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第15题（B）—— 导体接地

带正电物体M靠近中性导体N，N左端感生负电荷，右端正电荷。若左端接地：

• 接地 → 导体电势变为 0（地球电势）
• N 左端靠近 M（正电），感生负电荷被 M 吸引
• 远端（右端）的正电荷受排斥 → 正电荷入地
• 最终 N 带净负电荷

✅ B：N上有正电荷入地

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第16题（D）—— 🚨 导体球壳 + 中心点电荷

空心导体球壳（内R₁外R₂）带 q，中心再放 q

静电平衡后：

• 内表面感生 -q（抵消中心电荷对外的影响）
• 外表面带 2q（原有 q + 内表面感生的 +q）
• 球壳电势由外表面电荷决定：$U = \frac{2q}{4\pi\varepsilon_0 R_2}$

✅ D：$\frac{q}{2\pi\varepsilon_0 R_2}$

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第17题（D）—— 导体静电平衡性质

导体静电平衡时：导体是等势体

• (D) ✅ 导体内任一点与表面任一点电势差 = 0
• (A)(B)(C) 均与等势体矛盾

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第18题（D）—— 🚨 两导体球用导线连接

半径 R 和 r，用长导线连接（等势！）

• $U_R = U_r$ → $\frac{q_R}{4\pi\varepsilon_0 R} = \frac{q_r}{4\pi\varepsilon_0 r}$
• $q_R : q_r = R : r$
• $\sigma = \frac{q}{4\pi r_{\text{球}}^2}$，所以 $\sigma_R : \sigma_r = \frac{R}{R^2} : \frac{r}{r^2} = \frac{1}{R} : \frac{1}{r} = r : R$
• ✅ D：r/R

📌 曲率半径越小，电荷面密度越大！（尖端效应）

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第19题（A）—— 极化电荷产生的场强

介质表面极化电荷面密度 ±σ′，产生的场强

极化电荷在介质内部产生的场强：

$$E' = \frac{\sigma'}{\varepsilon_0}$$

✅ A：$\frac{\sigma'}{\varepsilon_0}$

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第20题（C）—— 🚨 插入金属板对电容的影响

平行板电容器插入与极板面积相同的金属板

• 金属板内部 E=0 → 相当于减小了极板间距
• 设原间距 d，金属板厚 t → 等效间距 d - t
• $C = \frac{\varepsilon_0 S}{d-t} > \frac{\varepsilon_0 S}{d}$
• 电容增大，且与金属板位置无关（只要平行插入）
• ✅ C

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第24题（1576）—— E-r 图识别

轴对称场强分布：内正比于 r，外反比于 r

这是无限长均匀带电圆柱体的特征：

• 内部：$E = \frac{\rho r}{2\varepsilon_0} \propto r$
• 外部：$E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} \propto 1/r$

✅ 半径为 R 的无限长均匀带电圆柱体

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第25题（1517）—— 挖去小块后球心电势

均匀带电球面 Q，挖去 ΔS 小块，求球心电势

• 完整球面球心电势：$U_0 = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}$
• 挖去 ΔS 上电荷 $\Delta q = \frac{Q}{4\pi R^2} \cdot \Delta S$
• 挖去后球心电势 = $U_0 - \frac{\Delta q}{4\pi\varepsilon_0 R} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}\left(1 - \frac{\Delta S}{4\pi R^2}\right)$

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第29题（1591）—— 🚨 等势面间距

$U_A > U_B > U_C$，$U_A-U_B=U_B-U_C$

电势变化均匀，但场强随距离变化（点电荷场 E ∝ 1/r²）。越远场强越小 → 需要更大距离才能获得相同电势差。

$$E = -\frac{dU}{dr},\quad \Delta U = \bar{E} \cdot \Delta r$$

场强越弱处，等势面间距越大。由于外面场强弱：

$$R_B - R_A < R_C - R_B$$

✅ <

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第34题（1645）—— F/q₀ vs 原有场强

带负电金属球附近放正点电荷 q₀，测力 F

• 金属球原本带负电，周围有电场
• 放入 q₀（正电）→ 金属球上电荷重新分布（静电感应）
• 感生效应使 q₀ 所受吸引力大于 q₀ × 原场强

✅ 大

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第40题（1334）—— 🚨 插入金属板一半厚度

平行板电容器插入厚度 = 极板间距一半的金属板

• 原电容 $C_0 = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$
• 金属板厚 d/2 → 等效间距 d - d/2 = d/2
• $C = \frac{\varepsilon_0 S}{d/2} = 2C_0$
• ✅ 2C₀

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🧮 四、计算题·题型模板

模板1：叠加法求场强（第41、42题）

第41题：带电圆环 $\lambda = \lambda_0\sin\phi$——非均匀分布

方法：取微元 $dq = \lambda Rd\phi = \lambda_0 R\sin\phi d\phi$ 微元在圆心产生场强 $dE = \frac{dq}{4\pi\varepsilon_0 R^2}$，分解到 x、y 方向 利用对称性（$\sin\phi$ 是奇函数）判断方向，积分求解。

第42题：无限长半圆柱面，单位长度电荷 λ

方法：窄条法。取角度 θ 处的窄条，电荷线密度 $d\lambda = \frac{\lambda}{\pi R} \cdot Rd\theta = \frac{\lambda}{\pi}d\theta$ 用无限长带电直线公式 $dE = \frac{d\lambda}{2\pi\varepsilon_0 R}$ 分解后积分。

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模板2：高斯定理（第44题）

无限长圆柱体 $\rho = Ar$（r ≤ R）

1. 作半径为 r、高 h 的同轴圆柱高斯面
2. r ≤ R：$q_{\text{内}} = \int_0^r Ar' \cdot 2\pi r' h dr' = \frac{2\pi Ah}{3}r^3$
   • $E \cdot 2\pi rh = \frac{q_{\text{内}}}{\varepsilon_0}$ → $E = \frac{Ar^2}{3\varepsilon_0}$
3. r > R：$q_{\text{内}} = \frac{2\pi Ah}{3}R^3$
   • $E = \frac{AR^3}{3\varepsilon_0 r}$

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模板3：电势叠加（第45题）

两同心带电球面（半径 r₁, r₂，相同 σ），球心电势 U₀ = 300V

• 球心电势 = 两球面各自在球心产生的电势叠加： $$U_0 = \frac{\sigma \cdot 4\pi r_1^2}{4\pi\varepsilon_0 r_1} + \frac{\sigma \cdot 4\pi r_2^2}{4\pi\varepsilon_0 r_2} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}(r_1 + r_2)$$
• 解得 σ = 8.85×10⁻⁹ C/m²

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模板4：电场力与电势能（第47题）

带电球面 + 沿径向的带电细线

• 球面外场强：$E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 x^2}$（x 是到球心距离）
• 线元 dx（电荷 λdx）受力：$dF = E \cdot \lambda dx$
• 积分求总力
• 线元电势能：$dW = \lambda dx \cdot U(x) = \lambda dx \cdot \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 x}$
• 积分求总电势能

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模板5：两带电棒相互作用力（第48题）

两相同均匀带电细棒（λ, l），沿同一直线，间距 l

• 左棒上 x 处线元 dx 在右棒某点 x’ 产生场强
• 右棒线元 λdx’ 受力
• 双重积分求总力
• 结果：$F = \frac{\lambda^2}{4\pi\varepsilon_0}\ln\frac{4}{3}$（方向为斥力）

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模板6：电容器（第49题）

同心金属球壳电容器

• 球壳间场强：$E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$
• 电势差：$U = \int_{R_1}^{R_2} E dr = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$
• 电容：$C = \frac{Q}{U} = \frac{4\pi\varepsilon_0 R_1 R_2}{R_2 - R_1}$
• 储能：$W = \frac{Q^2}{2C} = \frac{Q^2(R_2 - R_1)}{8\pi\varepsilon_0 R_1 R_2}$

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模板7：简谐振动（第50题）

均匀带电球体 Q 中，-q 粒子沿径向运动

• 球内场强（高斯定理）：$E = \frac{Qr}{4\pi\varepsilon_0 R^3}$
• 受力：$F = -qE = -\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0 R^3} \cdot r = -kr$
• 这是线性回复力 → 简谐振动！
• 频率：$\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0 m R^3}}$

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⚡ 五、考前速记·高频结论

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🎯 六、考试策略

必考题型预判

答题顺序建议

1. 先做填空题（公式直接套用，快速拿分）
2. 再做选择题（排除法+概念判断）
3. 最后做计算题（写公式+代入计算，步骤分也拿）

易错点汇总

• ❌ 高斯定理用错对称性 → 必须是高度对称的带电体
• ❌ 忘记导体内部 E=0 → 涉及导体必先判断静电平衡
• ❌ 电势零点选错 → 一般无穷远为零，导体接地球为参考
• ❌ 电容器串并联公式混淆 → 串联电容变小、并联电容变大
• ❌ 电偶极子延长线 vs 中垂线公式混淆

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🍀 静电场核心就三条路：
① 高斯定理求 E（对称性）
② 积分求 E 或 U（叠加原理）
③ 导体静电平衡（等势体）

掌握这三条，静电场不丢分！