磁场复习题 · 期末速成攻略

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📊 一、考点分布全景图

⚠️ 磁感强度计算 + 电磁感应 = 54%，是绝对核心！

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📐 二、核心公式速查表（考前必背）

🔵 毕奥-萨伐尔定律

$$\boxed{d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec{l} \times \hat{r}}{r^2}}$$

🔴 安培环路定理

$$\boxed{\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \sum I_{\text{内}}}$$

📌 适用条件：电流分布具有高度对称性（无限长直/圆柱、密绕螺线管、环形螺线管）

同轴电缆 B-r 分布（必考！）：

🟢 洛伦兹力·带电粒子运动

🟡 安培力·磁力矩

🟠 电磁感应

$$\boxed{\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt}} \quad \text{法拉第定律}$$

🔵 磁介质

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🔍 三、逐题精讲（含易错陷阱）

第1题（C）—— 🚨 补偿法求磁场

半径为 R 的长直圆柱，挖去半径为 r 的同轴平行小圆柱，通电流 I

补偿法 = 完整大圆柱（电流密度 +j）+ 小圆柱（电流密度 -j）

• $j = \frac{I}{\pi(R^2 - r^2)}$
• 在 O′（小圆柱轴线，距大圆柱轴线 a）：
  • 大圆柱在此处 $B_1 = \frac{\mu_0 j a}{2}$（安培环路定理）
  • 小圆柱在自身轴线 $B_2 = 0$
• $B = \frac{\mu_0 I a}{2\pi(R^2 - r^2)}$

✅ C

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第2题（B）—— 空心圆筒 B-x 关系

无限长空心圆筒，电流均匀分布

• 筒内：B = 0（安培环路定理，无包围电流）
• 筒壁中：B 随 r 增大
• 筒外：B ∝ 1/x
• ✅ B：中心为零，上升后反比下降

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第4题（C）—— 🚨 安培环路定理关键理解

两回路 L₁、L₂ 内电流分布相同（I₁, I₂），但 L₂ 外有 I₃

• B 的环流仅取决于回路内电流 → $\oint_{L_1} \vec{B}\cdot d\vec{l} = \oint_{L_2} \vec{B}\cdot d\vec{l}$
• 但各点 B 值受所有电流影响 → $B_{P_1} \neq B_{P_2}$

✅ C

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第5题（D）—— 🚨 周期与速度无关！

A 电子速率是 B 的 2 倍

• $R = \frac{mv}{qB}$ → $R_A:R_B = v_A:v_B = 2:1$
• $T = \frac{2\pi m}{qB}$ → 与 v 无关 → $T_A:T_B = 1:1$

✅ D

📌 这是极高频考点：周期只取决于荷质比和 B，与速度无关！

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第6题（C）—— 偏转轨迹判断

磁场⊥纸面向外，四个质量相等、电荷大小相等的粒子

• 负电荷：$\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B}$，q<0 → 偏转方向与正电荷相反
• 动能大 → v 大 → R = mv/(qB) 大 → 曲率半径最大
• 综合判断：带负电 + 半径最大 → Oc 轨迹

✅ C

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第7题（D）—— 载流线圈靠近直导线

正方形线圈在载流直导线 AB 附近，同平面

• 线圈靠近导线一侧与导线电流同向（相吸），远离一侧反向（相斥）
• 近侧力 > 远侧力 → 净效果为靠近导线
• 线圈不转动（合力矩为零）

✅ D：靠近导线 AB

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第8题（D）—— 磁力矩为零

N 匝正三角形线圈，法向∥外磁场

• $\vec{M} = \vec{m} \times \vec{B} = NI\vec{S} \times \vec{B}$
• 法向∥B → $\vec{S} \parallel \vec{B}$ → 叉积 = 0
• ✅ D：0

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第9题（B）—— 磁力天平

原平衡：$mg = nBIL$（L 为受力边长度） B→3B，I→I/2 → 新力 $F' = n(3B)(I/2)L = \frac{3}{2}nBIL = \frac{3}{2}mg$ 需砝码质量 = $\frac{3}{2}m$

✅ B：3m/2

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第10题（B）—— 扁平铜片磁场

宽 a 的无限长扁平铜片，电流 I 均匀分布，求共面 P 点 B

方法：分割为无限多平行细导线 → 积分叠加 结果形式为对数函数

✅ B：$\frac{\mu_0 I}{2\pi a}\ln\frac{a+b}{b}$

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第11题（D）—— 直导线+圆环组合

无限长直导线在 P 处弯成半径为 R 的圆

圆心 O 处：直导线部分在此处产生磁场（半无限长）+ 圆环产生磁场

• 圆环：$B_{\text{环}} = \frac{\mu_0 I}{2R}$
• 直导线：$B_{\text{直}} = \frac{\mu_0 I}{4\pi R}$（注意方向）
• 总场为两者叠加

✅ D

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第12题（D）—— 🚨 B 与 H 的区别

螺线管（l>>a），N 匝，电流 I，介质 μ_r

• H 仅由自由电流决定：$H = nI = NI/l$（与介质无关！）
• B = μ₀μ_r H
• (A) ❌ B = μ₀μ_rNI 缺少/l
• (C) ❌ H 不含 μ₀
• ✅ D：H = NI/l

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第13题（C）—— 矩形线圈进出磁场

进入→在磁场内→出来，感应电流随时间变化

• 进入：磁通增加 → 感应电流（逆时针=负）→ 恒定（匀速）
• 在内部：磁通不变 → 无感应电流
• 出来：磁通减少 → 感应电流（顺时针=正）

✅ C：负→零→正 的三段式

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第14题（B）—— 两反向电流变化

两无限长平行直导线，等大反向 I，dI/dt > 0

• 线圈内磁场由两导线共同产生
• 距线圈近的导线磁场更强 → 净磁场方向由近导线决定
• I 增大 → 磁通增大 → 感应电流产生反向磁通 → 顺时针

✅ B：顺时针

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第15题（C）—— 🚨 感应电荷量

小环（半径 r，电阻 R，a >> r），直导线电流 I 切断

$$q = \int I dt = \int \frac{\mathcal{E}}{R}dt = \frac{1}{R}\int \left(-\frac{d\Phi}{dt}\right)dt = \frac{\Delta\Phi}{R}$$

• 初始磁通：$\Phi = B \cdot \pi r^2 = \frac{\mu_0 I}{2\pi a} \cdot \pi r^2 = \frac{\mu_0 I r^2}{2a}$
• $\Delta\Phi = \Phi - 0 = \frac{\mu_0 I r^2}{2a}$
• $q = \frac{\mu_0 I r^2}{2aR}$

✅ C

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第16题（A）—— 转动导体棒动生电动势

棒绕 C 点（BC=棒长/3）转动，均匀磁场∥转轴

• 动生电动势：$\mathcal{E} = \int (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}$
• C 两侧电动势方向相反：CA 段（长 2L/3）> CB 段（长 L/3）
• A 点电势 > B 点电势

✅ A

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第17题（B）—— 三角形框架转动

绕 ab 边转动，B∥ab

• ab 边是转轴 → 回路磁通始终为零（B 在回路平面内无垂直分量？）

仔细想：B∥ab，回路绕 ab 转动，B 始终在回路平面内 → 磁通为零且不变 → ε=0

• a、c 间电势差：动生电动势沿 bc 段
• $U_a - U_c = \frac{1}{2}B\omega l^2$

✅ B

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第18题（D）—— 自感电动势

$\mathcal{E}_L = -L\frac{dI}{dt}$

• I-t 图：上升（+斜率）→ ε<0；下降（-斜率）→ ε>0；平直 → ε=0
• 对照选项 D

✅ D

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第19题（C）/ 第20题（B）—— 🚨 感生电动势比较

圆柱形变化磁场（dB/dt），金属棒在不同位置

• 涡旋电场：$E_{\text{涡}} = \frac{r}{2}\frac{dB}{dt}$（r≤R）
• 棒越靠外，涡旋电场越大 → 电动势越大
• 19题：ε₂ < ε₁（位置2更靠近中心）→ C
• 20题：ε₂ > ε₁（位置2更靠近边缘）→ B

📌 判断依据：看金属棒离圆柱磁场中心轴的远近，越远电动势越大。

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🧮 四、计算题·题型模板

模板1：毕奥-萨伐尔定律叠加（第41、42题）

第41题：两同心半圆弧 + 直导线

• 直导线部分在 O 点 B = 0（O 在直导线延长线上）
• $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4R_1}$（半圆弧），$B_2 = \frac{\mu_0 I}{4R_2}$
• $B = B_1 + B_2$（注意方向）
• 由 $B = \frac{2}{3}B_2$ 建立方程 → 解得 $R_1 = 2R_2$

第42题：V 形导线在 P 点磁场

• 导线1（沿 x 轴）：半无限长，P(0,a) → $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4\pi a}$
• 导线2（与 x 轴成 θ）：P 到导线2的垂直距离 → $B_2$
• 矢量叠加

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模板2：磁通量计算（第43题）

圆柱形导体 I 均匀分布，矩形平面磁通量

1. 分段：导体内（r≤R）和导体外（r>R）
2. 分别用安培环路定理求 B(r)
3. $\Phi = \int B \cdot dS = \int B(r) \cdot 1 \cdot dr$
4. 分段积分叠加

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模板3：电场力+洛伦兹力平衡（第44题）

带电粒子平行于带电载流导线运动

• 电场力（径向）：$F_E = qE = q \cdot \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$
• 洛伦兹力（径向）：$F_B = qvB = qv \cdot \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$
• 平衡条件：$F_E = F_B$ → $v = \frac{\lambda}{\mu_0 \varepsilon_0 I} = \frac{c^2\lambda}{I}$

📌 用到了 $c^2 = 1/(\mu_0\varepsilon_0)$

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模板4：载流线圈张力（第45题）

圆形线圈在均匀磁场中的张力

• 取半圆分析：安培力 $F = I \cdot 2R \cdot B$
• 张力 T 沿两端切线方向
• 力平衡：$2T = F = 2IRB$
• $T = IRB$

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模板5：电磁感应综合（第48题）

两反向长直导线 + 正方形线圈

1. 分别计算每根导线在线圈中的磁通量
2. $\Phi = \int_{r_1}^{r_2} \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \cdot d \cdot dr = \frac{\mu_0 I d}{2\pi}\ln\frac{r_2}{r_1}$
3. $\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt}$，利用 dI/dt = α
4. 判断方向

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模板6：动生电动势（第50题）

金属杆绕平行于 B 的轴转动

• 在距轴 l 处取线元 dl：$v = \omega l\sin\theta$
• $d\mathcal{E} = (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l} = B\omega l\sin\theta \cdot dl$
• 积分：$\mathcal{E} = \frac{1}{2}B\omega L^2\sin^2\theta$

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⚡ 五、考前速记·高频结论

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🎯 六、考试策略

必考题型预判

答题顺序

1. 填空题先做——公式直接套
2. 选择题注意排除法（如第4题CD明显错，第8题AB明显错）
3. 计算题——写公式+代入数据+单位，步骤分拿到

易错点汇总

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🍀 磁场三条主线：
① 安培环路定理求 B（对称分布）
② 毕奥-萨伐尔定律求 B（任意形状）
③ 法拉第电磁感应 ε = -dΦ/dt（变化磁场）

再配合洛伦兹力（粒子运动）和安培力（导线受力），磁场全搞定！