第二章 解析函数 —— 完整详尽讲解

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目录

1. §2.1 复变函数的概念、极限与连续性
2. §2.2 解析函数的概念
3. §2.3 函数可导与解析的充要条件
4. §2.4 初等函数
5. 习题精讲（含题库2.pdf全部内容）

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§2.1 复变函数的概念、极限与连续性

一、复变函数的定义

定义 2.1.1（复变函数） 设 $G \subset \mathbb{C}$ 是一个非空点集。若存在一个对应法则 $f$，使得对 $G$ 中每一个复数 $z = x + iy$，都有唯一确定的复数 $w = u + iv$ 与之对应，则称 $f$ 是定义在 $G$ 上的一个复变函数，记作

$$w = f(z), \quad z \in G$$

其中 $z$ 称为自变量，$w$ 称为因变量，$G$ 称为函数的定义域。

核心理解：复变函数本质上是二元实向量函数。因为：

• 输入 $z = x + iy$ 由两个实数 $(x, y)$ 决定
• 输出 $w = u + iv$ 由两个实数 $(u, v)$ 决定

因此，一个复变函数 $f(z)$ 等价于两个二元实变函数：

$$f(z) = f(x+iy) = u(x,y) + i \cdot v(x,y)$$

其中：

• $u(x, y) = \operatorname{Re}[f(z)]$ —— 实部
• $v(x, y) = \operatorname{Im}[f(z)]$ —— 虚部

例如：$f(z) = z^2 = (x+iy)^2 = (x^2-y^2) + i(2xy)$，则 $u(x,y)=x^2-y^2$，$v(x,y)=2xy$。

定义 2.1.2（单值函数与多值函数） 若对每个 $z \in G$，$f(z)$ 只有一个值，则称 $f$ 为单值函数；若有多个值，则为多值函数。如 $\operatorname{Ln} z$ 是多值函数，但可通过限制辐角范围得到单值解析分支。

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二、复变函数的极限

定义 2.1.3（极限） 设函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 的某去心邻域内有定义，$A$ 为复常数。若对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |z - z_0| < \delta$ 时，有

$$|f(z) - A| < \varepsilon$$

则称当 $z$ 趋于 $z_0$ 时 $f(z)$ 以 $A$ 为极限，记作

$$\lim_{z \to z_0} f(z) = A$$

定理 2.1.1（极限的实部虚部分解） 设 $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$，$A = a + ib$，$z_0 = x_0 + iy_0$，则

$$\lim_{z \to z_0} f(z) = A \quad \Longleftrightarrow \quad \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} u(x,y) = a \quad \text{且} \quad \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} v(x,y) = b$$

这是复变函数极限的化归原则：复极限等价于两个实二元极限同时存在且等于对应值。

极限的四则运算法则：若 $\lim_{z\to z_0} f(z) = A$，$\lim_{z\to z_0} g(z) = B$，则

1. $\lim [f(z) \pm g(z)] = A \pm B$
2. $\lim [f(z) \cdot g(z)] = A \cdot B$
3. $\lim [f(z)/g(z)] = A/B$（当 $B \neq 0$）

重要性质：

• 若 $\lim_{z\to z_0} f(z)$ 存在，则极限唯一。
• $\lim_{z\to z_0} |f(z)| = |\lim_{z\to z_0} f(z)|$。

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三、复变函数的连续性

定义 2.1.4（连续性） 设 $f(z)$ 在 $z_0$ 的某邻域内有定义。若

$$\lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)$$

则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处连续。若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内每一点都连续，则称 $f(z)$ 在 $D$ 内连续。

定理 2.1.2（连续性的实部分解） $f(z) = u+iv$ 在 $z_0 = x_0+iy_0$ 连续，当且仅当 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 均在 $(x_0, y_0)$ 连续。

连续函数的性质：

• 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍连续。
• 连续函数的复合仍连续。
• 若 $f(z)$ 在有界闭集上连续，则 $f(z)$ 在该闭集上有界，且能达到最大模和最小模（最值定理）。
• 若 $f(z)$ 在有界闭集上连续，则 $f(z)$ 在该闭集上一致连续。

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§2.2 解析函数的概念

一、复变函数的导数

定义 2.2.1（导数） 设函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 的某邻域内有定义。若极限

$$\lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}$$

存在（且为有限复常数），则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处可导（或可微），该极限值称为 $f(z)$ 在 $z_0$ 处的导数，记作

$$f'(z_0) = \frac{df}{dz}\bigg|_{z=z_0}$$

关键区别：实变函数中，$\Delta x \to 0$ 只有两种方式（从左或从右）；而复变函数中，$\Delta z \to 0$ 有无穷多种方式（沿任意曲线、任意方向）。因此复可导的条件比实可导苛刻得多。

求导法则（与实变函数形式相同）：

1. $(cf)' = cf'$
2. $(f \pm g)' = f' \pm g'$
3. $(fg)' = f'g + fg'$
4. $(f/g)' = (f'g - fg')/g^2$（$g \neq 0$）
5. 链式法则：$\frac{d}{dz}[f(g(z))] = f'(g(z)) \cdot g'(z)$

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二、解析函数的定义

定义 2.2.2（解析函数 / 全纯函数）

• 若 $f(z)$ 在 $z_0$ 的某邻域内处处可导，则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 处解析（analytic / holomorphic）。
• 若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内每一点都解析，则称 $f(z)$ 在 $D$ 内解析。
• 若 $f(z)$ 在整个复平面 $\mathbb{C}$ 上解析，则称 $f(z)$ 为整函数（entire function）。

关键区分：

| 概念 | 条件 | 例子 | | -------------- | ------------------------------ | ------------------ | --- | ------------------- | | 在一点可导 | 仅在该点的导数定义式极限存在 | $f(z) = | z | ^2$ 仅在 $z=0$ 可导 | | 在一点解析 | 在该点的某个邻域内处处可导 | 需要邻域条件 | | 在区域解析 | 在区域内每一点可导 | $e^z, \sin z, z^n$ |

🔴 高频考点：一点可导 ≠ 一点解析！解析要求邻域条件。$f(z) = |z|^2$ 在 $z=0$ 可导但不解析，因为它在 $z=0$ 的任何邻域内不是处处可导。

定理 2.2.1（解析函数的性质）

1. 解析函数的和、差、积、商（分母不为零）仍解析。
2. 解析函数的复合仍解析。
3. 若 $f'(z) = 0$ 在区域 $D$ 内恒成立，则 $f(z)$ 在 $D$ 内为常数。
4. 解析函数具有任意阶导数（这是复变函数独有的深刻性质）。

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§2.3 函数可导与解析的充要条件

这是整个第二章的理论核心，也是考试的重中之重。

一、柯西-黎曼方程（C-R 方程）

定理 2.3.1（可导的必要条件——C-R 方程） 设 $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ 在 $z_0 = x_0 + iy_0$ 处可导，则在 $(x_0, y_0)$ 处，$u, v$ 的偏导数存在，且满足：

$$\boxed{\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}}, \quad \boxed{\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}}$$

同时，导数可表示为：

$$f'(z_0) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial x} - i\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial y} + i\frac{\partial v}{\partial x}$$

推导过程（理解记忆）：

因为 $\Delta z = \Delta x + i\Delta y$，导数定义为：

$$f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{\Delta u + i\Delta v}{\Delta x + i\Delta y}$$

• 沿实轴接近（$\Delta y = 0$，即 $\Delta z = \Delta x$）：

  $$f'(z_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x_0+\Delta x, y_0)-u(x_0,y_0)}{\Delta x} + i\lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x_0+\Delta x, y_0)-v(x_0,y_0)}{\Delta x} = u_x(x_0, y_0) + i \cdot v_x(x_0, y_0)$$

• 沿虚轴接近（$\Delta x = 0$，即 $\Delta z = i\Delta y$）：

  $$f'(z_0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{u(x_0, y_0+\Delta y)-u(x_0,y_0)}{i\Delta y} + i\lim_{\Delta y \to 0} \frac{v(x_0, y_0+\Delta y)-v(x_0,y_0)}{i\Delta y} = \frac{1}{i}u_y + v_y = -i u_y + v_y = v_y - i u_y$$

两种方式得到的导数必须相等：

$$u_x + i v_x = v_y - i u_y$$

实部与虚部分别相等，即得 C-R 方程。

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定理 2.3.2（可导的充分条件） 设 $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ 在 $z_0 = x_0 + iy_0$ 的某邻域内有定义。若：

1. $u, v$ 在 $(x_0, y_0)$ 处可微（即具有连续偏导数），
2. $u, v$ 在 $(x_0, y_0)$ 处满足 C-R 方程，

则 $f(z)$ 在 $z_0$ 处可导。

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定理 2.3.3（解析的充要条件） 设 $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ 在区域 $D$ 内有定义。则 $f(z)$ 在 $D$ 内解析的充要条件是：

1. $u(x,y), v(x,y)$ 在 $D$ 内处处可微（通常只需验证偏导数连续），
2. 在 $D$ 内处处满足 C-R 方程 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$。

🔴 常见错误：仅验证 C-R 方程成立就断言解析，这是不充分的，必须同时验证 $u, v$ 的可微性（通常验证一阶偏导数连续即可）。

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二、C-R 方程的极坐标形式

当用极坐标表示时：$z = re^{i\theta}$，$f(z) = u(r,\theta) + iv(r,\theta)$

极坐标 C-R 方程：

$$\boxed{\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r} \frac{\partial v}{\partial \theta}}, \quad \boxed{\frac{\partial v}{\partial r} = -\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta}}$$

导数公式：

$$f'(z) = e^{-i\theta}\left(\frac{\partial u}{\partial r} + i\frac{\partial v}{\partial r}\right) = \frac{1}{r} e^{-i\theta}\left(\frac{\partial v}{\partial \theta} - i\frac{\partial u}{\partial \theta}\right)$$

推导思路：利用 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，通过链式法则将直角坐标的 C-R 方程转化为极坐标形式。

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三、调和函数与共轭调和函数

定义 2.3.1（调和函数） 若二元实函数 $\varphi(x,y)$ 在区域 $D$ 内具有连续的二阶偏导数，且满足拉普拉斯方程：

$$\boxed{\Delta \varphi = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} = 0}$$

则称 $\varphi(x,y)$ 为 $D$ 内的调和函数。

定理 2.3.4（解析函数的实部与虚部是调和函数） 若 $f(z) = u+iv$ 在区域 $D$ 内解析，则 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 都是 $D$ 内的调和函数。

证明思路：由 C-R 方程：$u_x = v_y$，$u_y = -v_x$。 两边分别再求偏导：

• $\frac{\partial}{\partial x}(u_x) = \frac{\partial}{\partial x}(v_y) \Rightarrow u_{xx} = v_{yx}$
• $\frac{\partial}{\partial y}(u_y) = \frac{\partial}{\partial y}(-v_x) \Rightarrow u_{yy} = -v_{xy}$

由于 $v_{yx} = v_{xy}$（偏导数连续性保证），相加得 $u_{xx} + u_{yy} = 0$。同理可证 $v_{xx} + v_{yy} = 0$。

定义 2.3.2（共轭调和函数） 若 $u$ 和 $v$ 都是区域 $D$ 内的调和函数，且满足 C-R 方程，则称 $v$ 是 $u$ 的共轭调和函数。

注意：$u$ 和 $v$ 的地位不对称——$v$ 是 $u$ 的共轭调和函数，但 $-u$ 才是 $v$ 的共轭调和函数。

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四、已知实部求解析函数（考试重点题型）

问题：已知调和函数 $u(x,y)$，求以 $u$ 为实部的解析函数 $f(z) = u + iv$。

解法一（偏积分法）：

1. 由 C-R 方程：$v_x = -u_y$，$v_y = u_x$。
2. 对 $v_x = -u_y$ 关于 $x$ 积分得 $v = \int (-u_y) \,dx + \varphi(y)$。
3. 对上述结果关于 $y$ 求偏导，利用 $v_y = u_x$ 确定 $\varphi'(y)$，再积分得 $\varphi(y)$。
4. 最终 $f(z) = u + iv$。

解法二（利用导数公式）：

$$f'(z) = u_x + iv_x = u_x - iu_y$$

将右边的 $x, y$ 用 $z$ 和 $\bar{z}$ 表达（利用 $x = \frac{z+\bar{z}}{2}, y = \frac{z-\bar{z}}{2i}$），若 $f'(z)$ 仅依赖于 $z$ 而不含 $\bar{z}$，则可直接对 $z$ 积分得到 $f(z)$。

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§2.4 初等函数

初等函数是指数函数、三角函数、对数函数、幂函数等在复数域中的推广。

一、指数函数 $e^z$

定义 2.4.1 对任意 $z = x + iy$，定义

$$\boxed{e^z = e^{x+iy} = e^x (\cos y + i\sin y)}$$

基本性质：

1. 模：$|e^z| = e^x = e^{\operatorname{Re}z}$。注意：$|e^z|$ 仅取决于实部！
2. 辐角：$\arg(e^z) = y + 2k\pi = \operatorname{Im}z + 2k\pi$。
3. 周期性：$e^{z+2\pi i} = e^z$，周期为 $T = 2\pi i$。这是复数域独有的——实数指数函数无周期性！
4. 加法公式：$e^{z_1+z_2} = e^{z_1} \cdot e^{z_2}$。
5. 处处解析：$(e^z)' = e^z$。
6. $e^z \neq 0$ 对任何 $z$ 成立（指数函数永不为零）。

欧拉公式的特例（必记）：

$$e^{i\pi} = -1, \quad e^{i\pi/2} = i, \quad e^{2\pi i} = 1$$

二、三角函数

定义 2.4.2 对任意复数 $z$，

$$\boxed{\sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}}, \quad \boxed{\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}}$$

基本性质：

1. 解析性：$\sin z$ 和 $\cos z$ 在整个复平面上解析（整函数）。
2. 导数：$(\sin z)' = \cos z$，$(\cos z)' = -\sin z$。
3. 周期性：$\sin(z+2\pi) = \sin z$，$\cos(z+2\pi) = \cos z$。
4. 恒等式：$\sin^2 z + \cos^2 z = 1$；和差公式、倍角公式在复数域中仍成立。
5. 零点：
   • $\sin z = 0 \Longleftrightarrow z = k\pi$
   • $\cos z = 0 \Longleftrightarrow z = \frac{\pi}{2} + k\pi$

🔴 极易出错！ 在复数域中，$\sin z$ 和 $\cos z$ 是无界的！

例如：$\cos(i) = \frac{e^{-1} + e^{1}}{2} \approx 1.543 > 1$。

样卷选择题经常在此设陷阱：“下列结论错误的是”——选项“$|\cos z| \leq 1$”就是错的。

其他三角函数：

$$\tan z = \frac{\sin z}{\cos z}, \quad \cot z = \frac{\cos z}{\sin z}, \quad \sec z = \frac{1}{\cos z}, \quad \csc z = \frac{1}{\sin z}$$

它们在其分母不为零处解析，求导法则与实变函数一致。

三、双曲函数

定义 2.4.3

$$\boxed{\sinh z = \frac{e^z - e^{-z}}{2}}, \quad \boxed{\cosh z = \frac{e^z + e^{-z}}{2}}$$

与三角函数的关系（必记）：

$$\sinh(iz) = i\sin z, \quad \cosh(iz) = \cos z$$ $$\sin(iz) = i\sinh z, \quad \cos(iz) = \cosh z$$

双曲函数的模无界性与三角函数类似。

四、对数函数 $\operatorname{Ln} z$

定义 2.4.4 若 $e^w = z$，则称 $w$ 为 $z$ 的对数，记作 $w = \operatorname{Ln} z$。

由 $z = re^{i\theta}$，得：

$$\boxed{\operatorname{Ln} z = \ln |z| + i \arg z + 2k\pi i = \ln r + i(\theta + 2k\pi)}, \quad k \in \mathbb{Z}$$

主值（记作 $\ln z$ 或 $\operatorname{Ln}_0 z$）：

$$\boxed{\ln z = \ln |z| + i \arg z}, \quad -\pi < \arg z \leq \pi$$

关键性质：

1. $\operatorname{Ln} z$ 是多值函数，有无穷多个分支，彼此相差 $2\pi i$ 的整数倍。
2. $\ln z$ 是主值分支（即取 $k=0$，辐角在 $(-\pi, \pi]$ 内）。
3. 各单值分支在沿割线（通常取负实轴）的复平面上解析。
4. 导数：$(\operatorname{Ln} z)' = \frac{1}{z}$（在各单值分支上）。

🔴 注意：$\operatorname{Ln}(z_1 z_2) = \operatorname{Ln} z_1 + \operatorname{Ln} z_2$ 对集合意义成立，但对主值不一定成立。

五、幂函数 $z^\alpha$

定义 2.4.5 对任意复常数 $\alpha$，

$$\boxed{z^\alpha = e^{\alpha \operatorname{Ln} z}}$$

分类讨论：

主值（对应 $\operatorname{Ln} z$ 取主值 $\ln z$）：

$$\text{主值}(z^\alpha) = e^{\alpha \ln z}$$

导数（在各单值分支上）：$(z^\alpha)' = \alpha z^{\alpha-1}$。

特殊值（常考）：

• $1^{\sqrt{2}} = e^{\sqrt{2} \operatorname{Ln} 1} = e^{\sqrt{2} \cdot 2k\pi i} = \cos(2\sqrt{2}k\pi) + i\sin(2\sqrt{2}k\pi)$——无穷多值！
• $i^i = e^{i \operatorname{Ln} i} = e^{i \cdot i(\frac{\pi}{2} + 2k\pi)} = e^{-(\frac{\pi}{2} + 2k\pi)}$——无穷多个实数值！

六、反三角函数

定义 2.4.6 反三角函数可用对数函数表示：

$$\boxed{\arcsin z = -i \operatorname{Ln}(iz + \sqrt{1-z^2})}$$ $$\boxed{\arccos z = -i \operatorname{Ln}(z + \sqrt{z^2-1})}$$ $$\boxed{\arctan z = \frac{i}{2} \operatorname{Ln}\frac{1-iz}{1+iz}}$$

这些是多值函数（因含有 $\operatorname{Ln}$）。

推导：由 $\sin w = \frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i} = z$，解出 $e^{iw}$，再取对数即得。

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第二章习题精讲（对应题库 2.pdf）

第一部分：判断与填空（逐题解析）

第1题：「若 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在区域 $D$ 上满足柯西-黎曼条件，则它在区域 $D$ 内解析。」

❌ 错误。满足 C-R 方程只是解析的必要条件，还需 $u, v$ 可微（偏导数连续）。反例：可构造满足 C-R 但偏导数不连续的函数，它并不可导。

第2题：「若 $f(z)$ 在点 $z_0$ 可导，则 $f(z)$ 在点 $z_0$ 解析。」

❌ 错误。一点可导不意味着该点的邻域内可导。典型反例：$f(z) = |z|^2 = z\bar{z}$，在 $z=0$ 处可导（导数 = 0），但在任何邻域内不解析（因为仅在原点满足 C-R 方程）。

第3题：「若 $f(z)$ 在点 $z_0$ 解析，则存在 $\delta>0$，使得 $f(z)$ 在 $U(z_0, \delta)$ 内解析。」

✅ 正确。解析的定义本身就是存在一个邻域在该邻域内处处可导。注意这里说的是解析推出存在解析邻域——这是解析函数的基本性质。

第4题：「若 $f(z)$ 在点 $z_0$ 不连续，则 $f(z)$ 在点 $z_0$ 不可导。」

✅ 正确。可导必连续，逆否命题成立：不连续必不可导。

第5题：「设 $\ln z = 1 + \pi i$，则 $z = \_\_\_$。」

解：$\ln z = \ln|z| + i\arg z = 1 + \pi i$，故 $\ln|z| = 1$，$\arg z = \pi$。 因此 $|z| = e^1 = e$，$\arg z = \pi$，得 $z = e \cdot e^{i\pi} = e \cdot (-1) = -e$。

答案：$z = -e$。

第6题：「当 $z = \_\_\_$ 时，$e^z$ 为实数。」

解：$e^z = e^x(\cos y + i\sin y)$ 为实数当且仅当虚部为零，即 $\sin y = 0$，$y = k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$。 即 $\operatorname{Im}(z) = k\pi$。

答案：$\operatorname{Im}(z) = k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$。

第7题：「求 $e^{-\frac{\pi i}{3}}$ 的值。」

解：$e^{-\frac{\pi i}{3}} = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$。

第8题：「求 $\sin(1+i)$ 的值。」

解：

$$\sin(1+i) = \frac{e^{i(1+i)} - e^{-i(1+i)}}{2i} = \frac{e^{-1+i} - e^{1-i}}{2i} = \frac{e^{-1}(\cos 1 + i\sin 1) - e^{1}(\cos 1 - i\sin 1)}{2i}$$

整理得：

$$\sin(1+i) = \sin 1 \cosh 1 + i \cos 1 \sinh 1$$

或直接使用公式 $\sin(x+iy) = \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y$。

第9题：「$\sin z$ 的周期为___。」

解：$\sin(z+T) = \sin z$ 对所有 $z$ 成立的最小正周期是 $T = 2\pi$。

第10题：「$(z+1)^5$ 的解析区域为___，其导数为___。」

解：多项式函数在整个复平面上解析。解析区域：$\mathbb{C}$（整个复平面）。导数：$5(z+1)^4$。

第11题：「设 $e^z = -1$，则 $z = \_\_\_$。」

解：$-1 = e^{\pi i + 2k\pi i} = e^{(2k+1)\pi i}$，故 $z = (2k+1)\pi i$，$k \in \mathbb{Z}$。

第12题：「$e^z$ 的周期为___。」

解：$e^{z+2\pi i} = e^z$，周期为 $T = 2\pi i$。

第13题：「设 $f(z)=u+iv$ 在区域 $D$ 上，若 $u$ 与 $v$ 在 $D$ 上有界，则 $f(z)$ 在 $D$ 上有界。」

✅ 正确。$|f| = \sqrt{u^2+v^2}$，若 $u, v$ 有界，则 $|f|$ 有界。但需注意这里并没有说 $f$ 解析——只是一个简单的模不等式问题。若 $u, v$ 分别有界，则 $|f| \leq \sqrt{M_u^2 + M_v^2}$。

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第二部分：证明与计算（逐题解析）

第1题：连续性讨论

题：试问函数 $\frac{1}{1+z^2}$ 在单位圆盘 $|z|<1$ 内是否连续？是否一致连续？

解：分母 $1+z^2 = 0$ 当且仅当 $z = \pm i$，这两点在单位圆周上（$|i| = |-i| = 1$），不在开圆盘 $|z|<1$ 内。因此在 $|z|<1$ 内分母不为零，函数作为解析函数的商是解析的，从而连续。

关于一致连续性：在开圆盘 $|z|<1$ 内，函数连续但不一致连续。因为当 $z$ 趋近于 $\pm i$（圆周边界点）时，函数趋于无穷，不存在连续模估计。

第2题：不可微证明

题：证明函数 $f(z) = |z|^2$ 除去在 $z=0$ 外，处处不可微。

证明：$f(z) = |z|^2 = x^2 + y^2$，所以 $u = x^2+y^2$，$v = 0$。

C-R 方程要求：$u_x = v_y \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0$；$u_y = -v_x \Rightarrow 2y = 0 \Rightarrow y = 0$。

因此仅在原点 $z=0$ 满足 C-R 方程。在原点处可直接用定义验证：

$$f'(0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{|\Delta z|^2}{\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \overline{\Delta z} = 0$$

所以在 $z=0$ 处可导（导数为 0），但在任何 $z \neq 0$ 处不满足 C-R 方程，从而不可导。

由于原点可导但任何邻域内包含不满足 C-R 的点，故处处不解析。

第3-5题：解析函数为常数的三种条件

第3题：若 $f'(z) = 0$ 对 $D$ 内每点成立，则 $f$ 在 $D$ 内为常数。

证明：由 $f'(z) = u_x + iv_x = v_y - iu_y = 0$，得 $u_x = v_x = u_y = v_y = 0$ 在 $D$ 内恒成立，因此 $u, v$ 均为常数，故 $f$ 为常数。

第4题：若 $|f(z)|$ 在 $D$ 内为常数，则 $f$ 在 $D$ 内为常数。

证明：设 $|f(z)| = c$（常数）。若 $c=0$，则 $f(z) \equiv 0$，显然为常数。

若 $c > 0$，则 $u^2 + v^2 = c^2$。两边分别对 $x, y$ 求偏导：

$$2u u_x + 2v v_x = 0, \quad 2u u_y + 2v v_y = 0$$

利用 C-R 方程 $v_x = -u_y$，$v_y = u_x$ 代入：

$$u u_x - v u_y = 0, \quad u u_y + v u_x = 0$$

这是关于 $u_x, u_y$ 的齐次线性方程组。系数行列式 $= u^2+v^2 = c^2 \neq 0$，故 $u_x = u_y = 0$，从而 $u$ 为常数。同理 $v$ 为常数，故 $f$ 为常数。

第5题：若 $\operatorname{Re}[f(z)]$ 在 $D$ 内为常数，则 $f$ 在 $D$ 内为常数。

证明：设 $u$ 为常数，则 $u_x = u_y = 0$。由 C-R 方程：$v_y = u_x = 0$，$v_x = -u_y = 0$，故 $v$ 也为常数，因此 $f$ 为常数。

第7题：用C-R条件证明解析性/非解析性

题：试证 $z^2, e^z, \sin z, \cos z$ 在复平面解析，而 $\bar{z}, \bar{z}^2, e^{\bar{z}}, \sin \bar{z}, \cos \bar{z}$ 不解析。

证明思路（以 $z^2$ 和 $\bar{z}$ 为例）：

$f(z) = z^2$：$u = x^2-y^2$，$v = 2xy$。

• $u_x = 2x = v_y$ ✓
• $u_y = -2y = -v_x$ ✓
• 偏导数连续，故在整个复平面解析。

$f(z) = \bar{z} = x - iy$：$u = x$，$v = -y$。

• $u_x = 1$，$v_y = -1$，不相等 ✗
• 在整个复平面不满足 C-R 方程，故处处不可导，不解析。

一般结论：任何依赖于 $\bar{z}$ 的函数在复平面上不解析（除非是常数）。

第8题：极坐标C-R方程证明

题：证明在极坐标下 C-R 条件为 $\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta}$，$\frac{\partial v}{\partial r} = -\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}$。

证明：由链式法则：

$$\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r} = u_x \cos\theta + u_y \sin\theta$$ $$\frac{\partial v}{\partial \theta} = v_x(-r\sin\theta) + v_y(r\cos\theta) = -r v_x \sin\theta + r v_y \cos\theta$$

利用直角坐标 C-R 方程 $u_x = v_y$，$u_y = -v_x$：

$$\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta} = -v_x\sin\theta + v_y\cos\theta = u_y\sin\theta + u_x\cos\theta = \frac{\partial u}{\partial r}$$

第二个公式类似可证。

第9题：计算特殊值

题：求 $e^{2+i}$、$i^i$、$(-2)^2$ 的值。

(1) $e^{2+i}$：

$$e^{2+i} = e^2 \cdot e^i = e^2(\cos 1 + i\sin 1)$$

(2) $i^i$：

$$i^i = e^{i\operatorname{Ln} i} = e^{i \cdot i(\frac{\pi}{2}+2k\pi)} = e^{-(\frac{\pi}{2}+2k\pi)}$$

主值：$e^{-\pi/2}$（取 $k=0$）。

(3) $(-2)^2$： 这里指数 2 是整数，所以是单值的：

$$(-2)^2 = 4$$

第10题：对数计算

题：求 $\operatorname{Ln}(1+i)$ 和 $1^{\sqrt{2}}$ 的值。

(1) $\operatorname{Ln}(1+i)$：

$$1+i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$$ $$\operatorname{Ln}(1+i) = \ln\sqrt{2} + i\left(\frac{\pi}{4} + 2k\pi\right) = \frac{1}{2}\ln 2 + i\left(\frac{\pi}{4} + 2k\pi\right)$$

主值：$\ln(1+i) = \frac{1}{2}\ln 2 + i\frac{\pi}{4}$。

(2) $1^{\sqrt{2}}$：

$$1^{\sqrt{2}} = e^{\sqrt{2}\operatorname{Ln} 1} = e^{\sqrt{2} \cdot 2k\pi i} = \cos(2\sqrt{2}k\pi) + i\sin(2\sqrt{2}k\pi)$$

无穷多值！

第11题：反三角函数的对数表达式

题：利用对数函数求出 $\arcsin z$ 和 $\arccos z$ 的解析表达式。

推导：由 $w = \arcsin z$ 即 $\sin w = z$。

$$\frac{e^{iw} - e^{-iw}}{2i} = z$$

令 $t = e^{iw}$，则 $t^2 - 2izt - 1 = 0$。

$$t = iz \pm \sqrt{1-z^2}$$ $$e^{iw} = iz + \sqrt{1-z^2} \quad (\text{取主值分支})$$ $$\arcsin z = -i \operatorname{Ln}(iz + \sqrt{1-z^2})$$

类似可得 $\arccos z = -i \operatorname{Ln}(z + \sqrt{z^2-1})$。

第12题：复偏导数的 C-R 表述

题：设 $u(x,y)$ 有偏导数，证明 $\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{1}{2}(u_x - iu_y)$，$\frac{\partial u}{\partial \bar{z}} = \frac{1}{2}(u_x + iu_y)$，并证明 C-R 条件可写为 $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0$。

证明：由 $x = \frac{z+\bar{z}}{2}$，$y = \frac{z-\bar{z}}{2i}$，链式法则：

$$\frac{\partial u}{\partial z} = u_x \frac{\partial x}{\partial z} + u_y \frac{\partial y}{\partial z} = u_x \cdot \frac{1}{2} + u_y \cdot \frac{1}{2i} = \frac{1}{2}(u_x - iu_y)$$ $$\frac{\partial u}{\partial \bar{z}} = u_x \frac{\partial x}{\partial \bar{z}} + u_y \frac{\partial y}{\partial \bar{z}} = u_x \cdot \frac{1}{2} + u_y \cdot \left(-\frac{1}{2i}\right) = \frac{1}{2}(u_x + iu_y)$$

对 $f = u + iv$：

$$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = \frac{1}{2}(u_x + iu_y) + \frac{i}{2}(v_x + iv_y) = \frac{1}{2}(u_x - v_y) + \frac{i}{2}(u_y + v_x)$$

C-R 方程 $u_x = v_y$，$u_y = -v_x$ 等价于 $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0$。

这是一个极高观点的结论：解析函数就是与 $\bar{z}$ 无关的函数（在导数意义下）！

第13-15题：多值函数的解析分支

第13题：在复平面上取上半虚轴作割线，取定 $\sqrt{z}$ 和 $\operatorname{Ln} z$ 在正实轴取正实值的解析分支，求它们在 $z=i$ 处的值。

解：割线是上半虚轴（即从原点出发沿正虚轴方向的射线）。

$\sqrt{z}$：要求 $\sqrt{1} = 1$（正实轴上取正值）。在割后的区域（即 $\mathbb{C}$ 去掉上半虚轴），辐角范围为 $(-\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$。

$i = e^{i\pi/2}$，在此范围内 $\arg(i) = \frac{\pi}{2}$。

$$\sqrt{i} = e^{i\pi/4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$\operatorname{Ln} z$：$\operatorname{Ln}(i) = \ln 1 + i\frac{\pi}{2} + 2k\pi i$，主值该分支中 $\arg(i)=\frac{\pi}{2}$，故该分支在 $z=i$ 的值为 $\frac{\pi}{2}i$。

第16题：推理错误分析

题：找出推理错误：因为 $(-z)^2 = z^2$，所以 $2\operatorname{Ln}(-z) = 2\operatorname{Ln} z$，因此 $\operatorname{Ln}(-z) = \operatorname{Ln} z$。

错误分析：$\operatorname{Ln}$ 是多值函数，$\operatorname{Ln}(w^2) = 2\operatorname{Ln} w$ 对集合意义成立（即左右两边的值集合相等），但不能推出 $\operatorname{Ln}(-z) = \operatorname{Ln} z$。

实际上，$\operatorname{Ln}(-z) = \ln|z| + i\arg(-z) + 2k\pi i$，$\operatorname{Ln} z = \ln|z| + i\arg z + 2k\pi i$，而 $\arg(-z) = \arg z + \pi$（当 $\arg z$ 不在边界时），因此 $\operatorname{Ln}(-z) = \operatorname{Ln} z + \pi i$，不相等。

推理中从 $2\operatorname{Ln}(-z) = 2\operatorname{Ln} z$ 两边”除以 2”，忽略了对数函数多值性带来的集合相等与元素相等的区别。

第19题：若 $f(z)$ 和 $\overline{f(z)}$ 均在 D 内解析，则 $f(z)$ 为常数

证明：设 $f = u+iv$ 解析，满足 C-R：$u_x = v_y$，$u_y = -v_x$。

$\overline{f} = u - iv$ 也解析，满足 C-R：$u_x = (-v)_y = -v_y$，$u_y = -(-v)_x = v_x$。

联合：$u_x = v_y$ 且 $u_x = -v_y$，故 $u_x = v_y = 0$；$u_y = -v_x$ 且 $u_y = v_x$，故 $u_y = v_x = 0$。

因此 $u, v$ 为常数，$f$ 为常数。

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🔑 第二章核心定理与公式速查表

必背关键定理

初等函数速查

常见误区（考试选择题挖坑重点）

| 错误说法 | 正确理解 | | ---------------------------------------------------------------------------- | --------------------------------------- | ------- | ------------------------------------------ | | $| \sin z | \leq 1$ | ❌ 复数域无界，例如 $\cos i \approx 1.543$ | | $| \cos z | \leq 1$ | ❌ 同上 | | 可导 = 解析 | ❌ 一点可导不等于解析，需邻域条件 | | 满足 C-R = 解析 | ❌ 还需偏导数连续（可微） | | $\operatorname{Ln}(z_1 z_2) = \operatorname{Ln} z_1 + \operatorname{Ln} z_2$ | ⚠️ 对主值不一定成立，仅在集合意义下成立 | | $z^\alpha$ 总是单值 | ❌ 视 $\alpha$ 而定，一般多值 |

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以上是第二章的完整内容详解。这一章是整个复变函数理论的基础，特别是 C-R 方程和初等函数的性质，在后续的积分、级数、留数等章节中会反复用到。建议重点掌握：

1. C-R 方程的验证与使用（解析性判断）
2. 调和函数与共轭调和函数的求法（已知实部求解析函数）
3. 初等函数的复数形式与性质（特别是多值函数的理解）
4. 对数函数的分支与主值（割线的理解）