第9章正弦稳态功率和能量 —— 考点精讲

基于课件 + 三套真题试卷，略去三相电路，直击考点。

一、三种功率：整个第九章的骨架

设端口电压 $u(t)=\sqrt{2}U\cos(\omega t+\varphi_u)$ ，电流 $i(t)=\sqrt{2}I\cos(\omega t+\varphi_i)$ ，相位差 $\varphi=\varphi_u-\varphi_i$ 。

| 功率 | 符号 | 公式 | 单位 | 物理意义 | | :----------------------- | :—: | :--------------------------------- | :—: | :--------------------- | --- | -------------- | | 有功功率（平均功率） | $P$ | $\boxed{P = UI\cos\varphi = I^2R}$ | W | 电阻实际消耗，不可逆 | | 无功功率 | $Q$ | $\boxed{Q = UI\sin\varphi = I^2X}$ | var | 储能元件能量交换的速率 | | 视在功率 | $S$ | $\boxed{S = UI = I^2 | Z | }$ | VA | 电气设备的容量 |

三者的关系就是功率三角形（必考）：

\boxed{S = \sqrt{P^2 + Q^2},\quad P = S\cos\varphi,\quad Q = S\sin\varphi,\quad \tan\varphi = \frac{Q}{P}}

1
      S
2
     /|
3
    / | Q
4
   /__|
5
    P

$\varphi$ 的三重身份：① 电压减电流的相位差 $\varphi_u-\varphi_i$ ，② 阻抗角 $\arctan(X/R)$ ，③ 功率三角形中 $P$ 与 $S$ 的夹角。三者是同一个量。

二、R / L / C 三元件的功率（必背）

元件	$\varphi$	$P$	$Q$	说明
R	$0^\circ$	$UI = I^2R = U^2/R$	$0$	纯耗能
L	$+90^\circ$	$0$	$\boxed{Q_L = UI = I^2X_L = \omega L I^2}$	$Q_L>0$ ，感性
C	$-90^\circ$	$0$	$\boxed{Q_C = -UI = -I^2X_C = -\frac{I^2}{\omega C}}$	$Q_C<0$ ，容性

核心规律：

电感电容有功永远为零（不耗能，只储能）
$Q_L>0$ （正）， $Q_C<0$ （负）→ 可互相补偿
电感平均储能 $W_{L\text{av}}=\frac{1}{2}LI^2$ ，电容平均储能 $W_{C\text{av}}=\frac{1}{2}CU^2$

三、任意阻抗的功率计算

对 $Z = R + jX = |Z|\angle\varphi$ ：

\boxed{P = UI\cos\varphi = I^2R}, \qquad \boxed{Q = UI\sin\varphi = I^2X = Q_L + Q_C}

功率三角形 与 阻抗三角形 相似：

\frac{P}{|Z|} = \frac{R}{|Z|} = \cos\varphi,\quad \frac{Q}{|Z|} = \frac{X}{|Z|} = \sin\varphi

重要技巧（真题高频）：已知 $U$ 、 $I$ 、 $P$ （或 $Q$ ），可直接求阻抗：

\boxed{R = \frac{P}{I^2}}, \quad \boxed{X = \frac{Q}{I^2}}, \quad \boxed{Z = \frac{P}{I^2} + j\frac{Q}{I^2}}

四、功率因数 $\lambda = \cos\varphi$ 及其提高

4.1 功率因数低的问题

I = \frac{P}{U\cos\varphi}

$\cos\varphi$ 越小 → 同样有功下电流越大 → 线路损耗大、设备容量浪费。

4.2 并联电容补偿（高频考点）

在原感性负载两端并联电容：

负载自身 $P$ 、 $Q$ 、 $I$ 全部不变
电容”就地”发出无功，抵消部分感性无功
电源提供的总无功减少 → $\varphi$ 减小 → $\cos\varphi$ 提高

并联电容值公式（必记）：

\boxed{C = \frac{P}{\omega U^2}(\tan\varphi_1 - \tan\varphi_2)}

从 $\cos\varphi_1$ 提升到 $\cos\varphi_2$ 所需电容。

注意：一般为欠补偿（不补到 $\cos\varphi=1$ ），避免过补偿使功率因数再次下降且性质变容性。

五、最大功率传输定理

戴维南等效电源 $Z_{\text{th}} = R_{\text{th}} + jX_{\text{th}}$ ，负载 $Z_L = R_L + jX_L$ ：

共轭匹配条件：

\boxed{Z_L = Z_{\text{th}}^*} \quad \text{即} \quad R_L = R_{\text{th}},\; X_L = -X_{\text{th}}

最大功率：

\boxed{P_{\max} = \frac{U_{\text{oc}}^2}{4R_{\text{th}}}}

六、复功率 $\tilde{S}$ （简洁工具）

\boxed{\tilde{S} = \dot{U}\dot{I}^* = P + jQ = S\angle\varphi}

实部 = $P$ ，虚部 = $Q$
满足功率守恒：电路中 $\sum\tilde{S}=0$ （发出 = 吸收）

七、真题精讲 —— 逐题击破

题1（B120009·单选10）

$U=200\text{V}$ ， $I=10\text{A}$ ， $Q=-1200\text{var}$ ，求复阻抗。

解：

S = UI = 200 \times 10 = 2000\ \text{VA}

P = \sqrt{S^2 - Q^2} = \sqrt{2000^2 - (-1200)^2} = 1600\ \text{W}

R = \frac{P}{I^2} = \frac{1600}{100} = 16\ \Omega,\quad X = \frac{Q}{I^2} = \frac{-1200}{100} = -12\ \Omega

\boxed{Z = 16 - j12\ \Omega}

答案选 B。

题2（B120009·填充7）

$u = 80\cos(\omega t - 45^\circ)$ V， $i = I_m\cos(\omega t + 15^\circ)$ A， $P = 200$ W，求 $Z$ 。

解：

\varphi = \varphi_u - \varphi_i = -45^\circ - 15^\circ = -60^\circ

U = \frac{80}{\sqrt{2}} \text{ V},\quad P = UI\cos\varphi \;\Rightarrow\; 200 = \frac{80}{\sqrt{2}} \cdot I \cdot 0.5

I = \frac{200 \times \sqrt{2}}{40} = 5\sqrt{2}\ \text{A}

|Z| = \frac{U}{I} = \frac{80/\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = 8\ \Omega

\boxed{Z = 8\angle{-60^\circ}\ \Omega = 4 - j6.93\ \Omega}

题3（B120011·单选7）

$\dot{U} = 100\angle{-30^\circ}$ V， $Z = 20\angle{-60^\circ}\ \Omega$ ，求 $Q$ 。

解：

\dot{I} = \frac{100\angle{-30^\circ}}{20\angle{-60^\circ}} = 5\angle{30^\circ}\ \text{A}

\tilde{S} = \dot{U}\dot{I}^* = 100\angle{-30^\circ} \times 5\angle{-30^\circ} = 500\angle{-60^\circ} = 250 - j433\ \text{VA}

\boxed{Q = -433\ \text{var}}

选 C。容性负载， $Q<0$ 。

题4（B120011·单选13）

两组负载并联： $S_1 = 1000$ kVA， $\cos\varphi_1 = 0.6$ ； $S_2 = 500$ kVA， $\cos\varphi_2 = 1$ 。求总 $S$ 。

解：

P_1 = 1000 \times 0.6 = 600\ \text{kW},\quad Q_1 = 1000 \times 0.8 = 800\ \text{kvar}

P_2 = 500\ \text{kW},\quad Q_2 = 0

P_{\text{总}} = 1100\ \text{kW},\quad Q_{\text{总}} = 800\ \text{kvar}

\boxed{S_{\text{总}} = \sqrt{1100^2 + 800^2} \approx 1360\ \text{kVA}}

选 B。注意：视在功率不能直接相加，须先求 $P$ 和 $Q$ 的代数和。

题5（B120011·单选12）

$i_s = \frac{15}{4}\cos\omega t$ A， $3\Omega$ 电阻消耗 $6$ W，求功率因数。

解：由 $P = I^2R$ ：

I_{3\Omega}^2 \times 3 = 6 \;\Rightarrow\; I_{3\Omega} = \sqrt{2}\ \text{A（有效值）}

根据电路结构进一步分析（需电路图），最终得 $\cos\varphi = 0.8$ （容性），选 C。

题6（B120007·非客观题10）

$\omega = 2$ rad/s， $C$ 为何值时 $R$ 消耗功率最大？

解：这是最大功率传输问题。先求 $EC$ 支路左侧的戴维南等效阻抗 $Z_0$ ，再令：

\frac{1}{j\omega C} = -j\,\text{Im}(Z_0) \quad\Rightarrow\quad C = \frac{1}{\omega \cdot \text{Im}(Z_0)}

即共轭匹配 $Z_L = Z_0^*$ 的条件，使 $R$ 获得最大功率。

题7（B120011·单选5）

欲使电路功率因数为 $0.707$ ，求 $1/\omega C$ 。

解： $\cos\varphi = 0.707 \;\Rightarrow\; |\varphi| = 45^\circ$ 。令端口等效阻抗角为 $\pm 45^\circ$ ，反解 $1/\omega C$ 。由电路结构得 $1/\omega C = 10\ \Omega$ ，选 D。

八、全章公式速查卡

| 公式 | 用途 | | :-------------------------------------------------------- | :----------- | --- | -------- | | $P = UI\cos\varphi = I^2R$ | 有功功率 | | $Q = UI\sin\varphi = I^2X$ | 无功功率 | | $S = UI = I^2 | Z |$ | 视在功率 | | $S = \sqrt{P^2+Q^2}$ | 功率三角形 | | $\cos\varphi = P/S$ | 功率因数 | | $Q_L = I^2X_L$ ， $Q_C = -I^2X_C$ | 感/容无功 | | $C = \frac{P}{\omega U^2}(\tan\varphi_1 - \tan\varphi_2)$ | 并联补偿电容 | | $\tilde{S} = \dot{U}\dot{I}^* = P+jQ$ | 复功率 | | $Z_L = Z_{\text{th}}^*$ | 共轭匹配 | | $P_{\max} = U_{\text{oc}}^2 / 4R_{\text{th}}$ | 最大功率 |

第9章 正弦稳态功率和能量 —— 考点精讲