第8章交流动态电路 · 相量法 —— 考点精讲

这是整个正弦稳态分析的方法论基础。本章告诉你：怎么把讨厌的微积分方程变成代数方程。

一、核心思想：变换法（8.2）

迂回战略——这是整章的灵魂：

1
时域问题（微分方程）               频域解答（代数方程）
2
    │                                  ↑
3
    │  变换（正弦量→相量）              │  求解（复数代数）
4
    ↓                                  │
5
频域问题（复数代数）  ─────────→  频域解答
6
                           反变换
7
                  （相量→正弦量）→ 时域最终答案

一句话：正弦量变成相量 → 用复数代数求解 → 再变回正弦量。这就是”相量法”。

二、复数基础（8.3）—— 相量法的数学语言

2.1 四种表示法

| 形式 | 表达式 | 用途 | | :--------- | :----------- | :----------- | --------------------------- | ------------ | | 代数式 | $F = a + jb$ | 加减运算 | | 三角函数式 | $F = | F | (\cos\theta + j\sin\theta)$ | 转换中介 | | 指数式 | $F = | F | e^{j\theta}$ | 理论推导 | | 极坐标式 | $F = | F | \angle\theta$ | 乘除运算 |

转换关系（必记）：

\boxed{|F| = \sqrt{a^2 + b^2}}, \quad \boxed{\theta = \arctan\frac{b}{a}}

\boxed{a = |F|\cos\theta}, \quad \boxed{b = |F|\sin\theta}

2.2 运算规则

加减：用代数式 → 实部±实部，虚部±虚部
乘除：用极坐标式 → 模相乘/除，角相加/减

F_1 \cdot F_2 = |F_1||F_2|\angle(\theta_1 + \theta_2)

\frac{F_1}{F_2} = \frac{|F_1|}{|F_2|}\angle(\theta_1 - \theta_2)

2.3 旋转因子（重要）

e^{j\frac{\pi}{2}} = +j,\quad e^{-j\frac{\pi}{2}} = -j,\quad e^{j\pi} = -1

一个复数乘以 $+j$ → 逆时针旋转 $90^\circ$ ；乘以 $-j$ → 顺时针旋转 $90^\circ$ 。

这个性质直接解释了：为什么电感电压超前电流 $90^\circ$ 、电容电流超前电压 $90^\circ$ 。

三、正弦量的三要素与有效值（8.4）

3.1 三要素

对正弦量 $i(t) = I_m\cos(\omega t + \psi)$ ：

| 要素 | 符号 | 含义 | | :----------------- | :------------------------- | :-------------- | ---- | -------- | | 振幅（最大值） | $I_m$ | 变化幅度 | | 角频率 | $\omega = 2\pi f = 2\pi/T$ | 变化速率，rad/s | | 初相位 | $\psi$ | 计时起点， $| \psi | \le \pi$ |

3.2 有效值 —— 高频填空考点

定义（均方根值）：

\boxed{I = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T i^2(t) dt}}

对正弦量，有效值与振幅的关系：

\boxed{I = \frac{I_m}{\sqrt{2}} \approx 0.707 I_m}, \quad \boxed{U = \frac{U_m}{\sqrt{2}}}

真题示例（B120009 填空3）：

$i(t) = 10\sin(\omega t + 10^\circ)$ A → 振幅 10 A，有效值 $10/\sqrt{2} \approx 7.07$ A

$i(t) = 2(\cos\omega t + \sin\omega t)$ A → 振幅 $2\sqrt{2} \approx 2.828$ A，有效值 $2\sqrt{2}/\sqrt{2} = 2$ A… 实际上需展开： $2\cos\omega t + 2\sin\omega t = 2\sqrt{2}\cos(\omega t - 45^\circ)$ ，振幅 $2\sqrt{2}$ A，有效值 $2$ A。而原答案填的是 $1.41$ A 和 $1$ A… 这得再核对。无论如何，振幅/有效值的转换是必考点。

3.3 相位差的三个特殊值

设 $\varphi = \psi_u - \psi_i$ ，规定 $|\varphi| \le 180^\circ$ 。

$\varphi$	关系	波形特点
$0^\circ$	同相	同时到峰值
$\pm 90^\circ$	正交	一个峰值时另一个过零
$\pm 180^\circ$	反相	同时过零，方向相反

比较相位差的前提：同频率、同函数（都化成cos或sin）、同符号。

四、相量——本章最核心概念（8.4）

4.1 定义

正弦量 $i(t) = \sqrt{2}I\cos(\omega t + \psi)$ 与相量建立一一对应：

\boxed{i(t) = \sqrt{2}I\cos(\omega t + \psi) \quad \longleftrightarrow \quad \dot{I} = I\angle\psi}

⚠️ 要点：

相量的模 = 正弦量的有效值（不是振幅！），除非特别说明为”振幅相量”

相量的角 = 正弦量的初相位

相量里没有 $\omega$ ， $\omega$ 被”默认”了

4.2 相量图

在复平面上用有向线段表示相量：

长度 = 有效值
与实轴夹角 = 初相位
可直观做加减法（平行四边形法则 / 首尾相接）

五、三大定律的相量形式 —— 时域到频域的”翻译”

5.1 KCL、KVL（8.5）

时域	相量域
$\sum i(t) = 0$	$\boxed{\sum \dot{I} = 0}$
$\sum u(t) = 0$	$\boxed{\sum \dot{U} = 0}$

KCL、KVL在相量域形式不变——这是相量法能work的基石。

5.2 三种元件VCR（8.6）—— 最重要！

元件	时域	相量域	复阻抗 $Z$
R	$u = Ri$	$\dot{U} = R\dot{I}$	$Z_R = R$
L	$u = L\frac{di}{dt}$	$\boxed{\dot{U} = j\omega L \dot{I}}$	$Z_L = j\omega L = jX_L$
C	$i = C\frac{du}{dt}$	$\boxed{\dot{U} = \frac{1}{j\omega C}\dot{I} = -j\frac{1}{\omega C}\dot{I}}$	$Z_C = \frac{1}{j\omega C} = -jX_C$

从时域到相量域的核心”翻译”规则：

\boxed{\frac{d}{dt} \;\longleftrightarrow\; j\omega}, \qquad \boxed{\int dt \;\longleftrightarrow\; \frac{1}{j\omega}}

这就是相量法把微积分方程变成代数方程的秘密！

5.3 感抗与容抗的性质

	感抗 $X_L = \omega L$	容抗 $	X_C	= 1/(\omega C)$
$\omega \to 0$ （直流）	$X_L \to 0$ ，短路	$	X_C	\to \infty$，开路
$\omega \to \infty$	$X_L \to \infty$ ，开路	$	X_C	\to 0$，短路

5.4 相位关系总结

\begin{aligned} \text{电阻：} &\quad \dot{U} \text{与} \dot{I} \text{同相（}\varphi = 0\text{）} \\ \text{电感：} &\quad \dot{U} \text{超前} \dot{I}\; 90^\circ \quad（乘以 +j \text{就是转}+90^\circ）\\ \text{电容：} &\quad \dot{I} \text{超前} \dot{U}\; 90^\circ \quad（除以 j = 乘以 -j，转}-90^\circ） \end{aligned}

六、阻抗与导纳（8.7）

6.1 定义

\boxed{Z = \frac{\dot{U}}{\dot{I}} = R + jX = |Z|\angle\varphi}

\boxed{Y = \frac{\dot{I}}{\dot{U}} = G + jB = |Y|\angle(-\varphi)}

6.2 阻抗三角形

|Z| = \sqrt{R^2 + X^2}, \quad \varphi = \arctan\frac{X}{R}

$X > 0$ （ $Z$ 感性）→ $\varphi > 0$ ，电压超前电流
$X < 0$ （ $Z$ 容性）→ $\varphi < 0$ ，电流超前电压

七、相量模型与电路分析（8.8-8.11）

7.1 相量模型的建立步骤

将时域电路图 → 相量模型图： $R$ 不变， $L \to j\omega L$ ， $C \to 1/(j\omega C)$
正弦电源 → 相量 $\dot{U}_s$ 或 $\dot{I}_s$
用直流电路的全部分析方法求解（网孔法、节点法、等效变换、戴维南定理……）
将结果反变换为时域正弦量

7.2 真题示例

B120011 填空2：方框内元件， $u = 10\cos(100t + 45^\circ)$ V， $i = 2\sin(100t + 135^\circ)$ A。

思路：

统一函数： $i = 2\sin(100t + 135^\circ) = 2\cos(100t + 135^\circ - 90^\circ) = 2\cos(100t + 45^\circ)$
$\dot{U} = \frac{10}{\sqrt{2}}\angle 45^\circ$ , $\dot{I} = \frac{2}{\sqrt{2}}\angle 45^\circ$
$Z = \dot{U}/\dot{I} = 5\angle 0^\circ\ \Omega = 5\ \Omega$ （纯电阻）
答案：电阻元件，5 Ω

这是经典考点：根据 $u$ 、 $i$ 的相位差判断元件类型（同相→R， $+90^\circ$ →L， $-90^\circ$ →C）。

八、两类高频考题

8.1 用相量法做混联电路分析

步骤：画相量模型 → 串并联化简求 $Z_{eq}$ → 求 $\dot{I}$ 、 $\dot{U}$ → 转回时域。

关键技巧：

两个阻抗并联： $Z_{eq} = \frac{Z_1 Z_2}{Z_1 + Z_2}$
分流公式： $\dot{I}_1 = \dot{I} \cdot \frac{Z_2}{Z_1 + Z_2}$

8.2 相量图法（定性/半定量分析）

当电路结构清晰时，画相量图比列方程更快：

选参考相量（通常选并联支路的公共电压或串联支路的公共电流）
按VCR关系画出各支路相量
用几何关系求解

课件例题（A₁=8A、A₂=6A，求A₀）：

| $Z_2$ | A₀ | 原理 | | :---------------------- | :-------------------: | :--------------------------- | ----- | -------- | | $R$ | $\sqrt{8^2+6^2}=10$ A | $\dot{I}_1$ 与 $\dot{I}_2$ 正交 | | $R$ （与 $Z_1$ 同性质） | $8+6=14$ A | 同相叠加 | | $jX_C$ （与 $Z_1$ 互补） | $| 8-6 | =2$ A | 反相抵消 |

九、常见易错点

易错	正解
相量的模是振幅	❌ 一般指有效值（除非注明”振幅相量”）
$\dot{U} = j\omega L\dot{I}$ 写反	✅ 正确： $\dot{U}_L = j\omega L \dot{I}_L$ ， $U$ 在 $I$ 前面
容抗 $X_C > 0$	❌ $X_C = -1/(\omega C)$ ，为负值
不同频率相量可加减	❌ 严禁。相量法只适用于同频正弦量
求导→ $j\omega$ ，积分→ $1/(j\omega)$	记住：求导放大高频（ $\times\omega$ ），积分抑制高频（ $\div\omega$ ）

十、核心公式速查卡

公式	说明
$I = I_m/\sqrt{2}$	有效值与振幅
$\dot{I} = I\angle\psi$	相量定义
$\dot{U}_L = j\omega L \dot{I}_L$	电感VCR相量
$\dot{U}_C = \frac{1}{j\omega C}\dot{I}_C$	电容VCR相量
$Z = R + jX$	复阻抗
$X_L = \omega L,\; X_C = -\frac{1}{\omega C}$	感抗/容抗
$\frac{d}{dt} \leftrightarrow j\omega$	微积分→代数
$\sum \dot{I}=0,\;\sum \dot{U}=0$	KCL/KVL相量形式

第8章是后续第9、10章的语言基础——后面讲 $P$ 、 $Q$ 、 $S$ 以及谐振时，全在用这套”相量语言”说话。把这张速查卡和三种元件VCR死死记住，后面的内容就通了。

第8章 交流动态电路 · 相量法 —— 考点精讲